【Edisi Pendidikan Rakyat】Matematika SMA, Wajib Semester Dua (Versi A): Dari Garis Bilangan ke Bidang Kompleks: Definisi Aljabar dan Korespondensi Geometri Bilangan Kompleks

Bayangkan jika kamu hanya bisa bergerak bolak-balik di sepanjang tali tipis—ini adalah dunia garis bilangan real. Jika kamu ingin melompat ke atas, tali itu tidak mampu menopangmu. Memperkenalkanbilangan kompleksadalah seperti menambahkan dimensi baru bagi duniamu. Setiap bilangan kompleks dalam bentuk $z = a + bi$ bukan lagi sekadar titik pada garis bilangan, tetapi koordinat $(a, b)$ di bidang datar, atau vektor dari titik asal. Paduan sempurna antara "angka" dan "bentuk" ini merupakan salah satu loncatan terbesar dalam sejarah matematika.

Definisi Aljabar dan Korespondensi Geometri Bilangan Kompleks

Di Buku Teks Wajib Semester Dua, kita mempelajari sistem bilangan kompleks. Bilangan kompleks terdiri daribagian realdanbagian imajinerdengan bentuk aljabar standar $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).

Untuk memahami bilangan kompleks secara intuitif, kita membangunbidang kompleks:

sumbu real: sesuai dengan sumbu $x$, merepresentasikan bagian real bilangan kompleks.
sumbu imajiner: sesuai dengan sumbu $y$, merepresentasikan bagian imajiner bilangan kompleks.
titik dan bilangan kompleks: bilangan kompleks $z = a + bi$ berkorespondensi satu-satu dengan titik $Z(a, b)$.
vektor dan bilangan kompleks: bilangan kompleks $z = a + bi$ berkorespondensi satu-satu dengan vektor bidang $\vec{OZ}$.

Modulus bilangan kompleks $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ memiliki makna geometris sebagai jarak titik $Z$ ke titik asal dalam bidang kompleks. Sedangkan $|z_1 - z_2|$ adalah jarak antara dua titik tersebut.

$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$

PERTANYAAN 1

Di bidang kompleks, $O$ adalah titik asal, vektor $\vec{OA}$ sesuai dengan bilangan kompleks $2+i$. Jika titik $A$ memiliki simetri terhadap sumbu real menjadi titik $B$, tentukan bilangan kompleks yang sesuai dengan vektor $\vec{OB}$.

$2-i$

$-2+i$

$-2-i$

$1+2i$

PERTANYAAN 2

Lanjutan dari soal sebelumnya, jika titik $B$ memiliki simetri terhadap sumbu imajiner menjadi titik $C$, tentukan bilangan kompleks yang sesuai dengan titik $C$.

$2+i$

$-2-i$

$-2+i$

$2-i$

PERTANYAAN 3

Jika bagian real bilangan kompleks $z$ bernilai positif, dan bagian imajinernya adalah $3$, maka titik yang sesuai dengan bilangan kompleks $z$ berada pada bentuk apa di bidang kompleks?

sebuah sinar di kuadran pertama

sepotong segmen di sumbu imajiner

seluruh kuadran pertama

garis lurus di atas sumbu real

PERTANYAAN 4

Hitung hasil operasi bilangan kompleks: $(-3-4i) + (2+i) - (1-5i)$.

$-2+2i$

$-2-8i$

$0$

$-4+2i$

PERTANYAAN 5

Diketahui bagian imajiner bilangan kompleks $z$ adalah $\sqrt{3}$, dan modulus vektor yang sesuai dengan bilangan kompleks $z$ di bidang kompleks adalah $2$. Tentukan bilangan kompleks $z$ tersebut.

$1 + \sqrt{3}i$ atau $-1 + \sqrt{3}i$

$1 + \sqrt{3}i$

$\pm 1 - \sqrt{3}i$

$\sqrt{7} + \sqrt{3}i$

PERTANYAAN 6

Syarat perlu dan cukup agar hasil kali bilangan kompleks $(a+bi)$ dan $(c+di)$ adalah bilangan real adalah:

$ad+bc=0$

$ac+bd=0$

$ac=bd$

$ad=bc$

PERTANYAAN 7

Selesaikan persamaan $4x^2+9=0$ dalam himpunan bilangan kompleks $\mathbb{C}$.

$x = \pm \frac{3}{2}i$

$x = \pm \frac{9}{4}i$

$x = \frac{3}{2}i$

Tidak ada solusi

PERTANYAAN 8

Jika modulus bilangan kompleks $z$ adalah $5$, dan bagian imajinernya adalah $-4$, maka bilangan kompleks $z$ adalah:

$3-4i$ atau $-3-4i$

$3-4i$

$\pm 3 + 4i$

$\pm 9 - 4i$

PERTANYAAN 9

Carilah jarak antara dua titik yang sesuai dengan bilangan kompleks $z_1=8+5i$ dan $z_2=4+2i$ di bidang kompleks.

$5$

$\sqrt{13}$

$25$

$7$